I denne lille Q&A kan du møde to af Alineas matematikredaktører, nemlig Morten Elkjær & Daniel Clive Ebeling. De har gennem flere år interesseret sig for – og forsket i – fejltyper og bl.a. set på, hvordan opgavedesign i matematik kan omsættes til inkluderende undervisning gennem formativ evaluering. Nederst i artiklen kan du også downloade deres slides fra det oplæg, som de holdt til Lærfest 2025 i Aarhus.
Q: Hvad er en meningsfuld fejl?
Morten: Meningsfulde fejl er dem, der giver underviseren et godt udgangspunkt for at drive undervisningen fremad. Et fejlagtigt svar på en matematikopgave kan sige ekstremt meget om, hvor underviseren hensigtsmæssigt kan starte i forhold til at styrke elevens erkendelsesrejse i matematikkens verden.
Q: Hvorfor er det vigtigt at have øje for meningsfulde fejl i matematik?
Daniel og Morten: Det er naturligvis svært vide med sikkerhed, hvordan elever opfatter noget, for vi har som udgangspunkt ikke adgang til deres tænkning eller deres ræsonnement for at svare noget bestemt. Derfor giver det ikke mening at tale om elevers misopfattelser. Det er i bedstefald misvisende, fordi det betyder, at vi ved, hvordan eleven har fejlagtig opfattet noget på baggrund af deres svar. Og i bedste fald er det skadeligt, fordi det giver eleven ansvaret; det er som sådan ikke deres opfattelse, der er noget galt med. Matematiske begreber udvikler sig gennem elevernes skolegang, og det bliver underviserens opgave og ansvar at guide denne rejse. De rette opgaver, og derved de fejlsvar der følger med, kan derimod pege os i retning af, hvor problemet opstår for eleven og i bedste fald hjælpe med at finde et godt udgangspunkt for videre læring.
Q: Hvad kan man gøre for at få alle elever med?
Daniel: Vi kan i stedet tale om læring som en erkendelsesproces med mange små trin på vejen. Elevens svar på en opgave kan, hvis den er designet med det for øje, afsløre hvor de er i deres erkendelsesproces. Med godt opgave design, kan vi hjælpe læreren til hurtigere at finde ud af, hvordan de har tænkt, men det er læreren, der skal undersøge det. Vi kan kun hjælpe med at afgrænse undersøgelsesområdet.
Q: Har I et eksempel på godt opgavedesign?
Morten: Godt opgavedesign handler om at lave opgaver, der genererer tolkbare fejlsvar, dvs. opgaver hvor vi kan tolke på, hvad der er sket. Fx 8+4=_+5. Her svarer ca. 40% af eleverne forkert med enten 12 eller 17. Altså kan vi tolke på, hvordan de har tænkt, og hvor vi kan sætte ind som lærere. Disse to fejlsvar er ret ligetil at tolke på og giver ret gode praj om, hvordan eleven ser problemet. Det gode ved opgaven er, at næsten alle forkerte svar er tolkbare, og stort set alle forkerte svar falder på enten 12 eller 17. Denne opgave har derfor det, vi kalder høj diagnostisk værdi. Genererer en opgave en forholdsvis stor andel af ikke-tolkbare forkerte svar, så er opgaven ikke god i denne formative hensigt. Dette er det, vi kalder lav diagnostisk værdi.
Q: Hvad er udfordringen ved formativ evaluering?
Morten: God formativ evaluering, der giver underviseren et godt udgangspunkt for at undervise, er svær og nogle gange ret tidskrævende at gennemføre. Vi ønsker at implementere vores forskningsresultater i Alineas produkter således, at denne proces med formativ evaluering bliver lettere og mindre tidskrævende at gennemføre. Meget af det data, vi arbejder med, kommer fra brugerne på Matematikfessor, og det er især i Alineas digitale produkter, vi ser et stort potentiale.
Q: Hvordan finder man de rette opgaver til eleverne?
Morten og Daniel: Man kan designe dem selv, hvis man tænker på opgavens diagnostiske værdi. Opgaver skal testes, og den diagnostiske værdi skal verificeres for ikke blot at forblive et potentiale. Der kommer rigtig mange egnede opgaver til dette i Matematikfessor og i Alineas KIM-hæfter findes der gennemtestede opgaver, som er designet til at kortlægge de forudsætninger og muligheder, eleverne har for aktivt at kunne deltage i matematikundervisningen.
